Логарифм мнимой единицы
De logaritme van de imaginaire eenheid i is de meerwaardige functie
Hier wordt de natuurlijke logaritme geschreven als log.
Uitleg
De imaginaire eenheid is een complex getal. Een complex getal w heet een logaritme van z, dus w = log z, als ew = z.
Men spreekt van een logaritme omdat er voor z oneindig veel getallen w zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van 2πi. Dit komt doordat e2kπ i = 1. Schrijven we z als
z = r · eiφ
met absolute waarde r en argument φ, dan is elk van de getallen
een logaritme van z. Het is gebruikelijk het argument φ zo te definiëren dat –π < φ ≤ π. De waarde van de logaritme voor k = 0, heet de hoofdwaarde van de logaritme.
Zo ligt z = i op de eenheidscirkel met straal r = 1 en een kwart cirkel gedraaid φ = ½π. De logaritme van i heeft daarom een hoofdwaarde van
log (i) = log (1) + ½πi = ½πi
Логарифм мнимой единицы i - это многозначная функция.
Здесь натуральный логарифм записывается как log.
Пояснение
Комплексное число w называется логарифмом z, так что w = log z, если ew = z.
Мы говорим о логарифме, потому что для z существует бесконечно много чисел w, которые действуют как логарифмы. Они отличаются друг от друга на целое число, кратное 2πi. Это объясняется тем, что e2kπ i = 1. Если мы запишем z в виде
z = r - eiφ
с абсолютным значением r и аргументом φ, то каждое из чисел
Обычно аргумент φ определяется так, что -π < φ ≤ π. Значение логарифма для k = 0 называется принципиальным значением логарифма.
Мнимая единица - это комплексное число. Так как z = i лежит на единичной окружности радиуса r = 1 и четверти окружности, повернутой φ = ½π. Поэтому логарифм от i имеет главное значение
log (i) = log (1) + ½πi = ½πi